MATH2211 课程笔记

前言 本节从多元函数的基本结构出发，逐步建立极限、连续性、可微性、链式法则和方向导数的统一框架。与一元函数相比，多元函数的自变量可以从无穷多个方向趋近某一点，因此“沿某一条曲线成立”通常不能直接推出多元结论。 全文使用以下记号： $\mathbf{x}=(x_1,x_2,\dots,x_n)$ 表示 $\mathbb{R}^n$ 中的点或向量； $X\subset\mathbb{R}^n$ 表示函数的定义域； $f:X\to\mathbb{R}^m$ 表示从 $n$ 维空间到 $m$ 维空间的函数； 当 $m=1$ 时，称 $f$ 为标量值函数（scalar-valued function）； 当 $m>1$ 时，称 $f$ 为向量值函数（vector-valued function）。 2.1 多元函数 定义域、陪域和值域 对函数 $f:X\to Y$： $X$ 称为函数的定义域（domain）； $Y$ 称为函数的陪域（codomain）； 值域（range）是函数实际取得的所有值： $$ f(X)=\{f(x):x\in X\}. $$ 定义域和陪域都是函数定义的一部分。值域则由函数的实际取值决定，因此通常只是陪域的一个子集。 例 2.1：设 $$ f:(-1,2)\to\mathbb{R},\qquad f(x)=x^2. $$则定义域为 $(-1,2)$，陪域为 $\mathbb{R}$。由于 $x$ 可以取到 $0$，但不能取到 $4$，函数的值域为 $$ [0,4). $$函数组合 设 $f:X\to Y$，$g:Y\to Z$。如果 $f$ 的输出属于 $g$ 的定义域，则可以定义复合函数 $$ g\circ f:X\to Z,\qquad (g\circ f)(x)=g(f(x)). $$函数复合的运算顺序是从右向左读取，先计算 $f(x)$，再将结果代入 $g$。一般来说，函数复合不满足交换律。 ...

前言 MATH2211 是多元微积分（Multivariable Calculus）。这篇笔记整理自课件第一章 Vectors（向量）——它是后续多元函数、偏导数、多重积分的基础。笔记覆盖课件中全部定义与命题，并精选有代表性的例题。术语统一采用"中文（English）“标注。 1.1 欧几里得空间中的向量（Vectors in the Euclidean Space） 向量的定义 定义 1.1（向量 Vector）：设 $n$ 为正整数。一个向量是 $n$ 元有序数组 $(v_1, v_2, \dots, v_n)$。所有这样的向量构成的集合 $\mathbb{R}^n$ 称为 $n$ 维欧几里得空间（Euclidean space of dimension $n$）。 向量用粗体表示：$\mathbf{v} = (v_1, v_2, \dots, v_n)$；手写可写 $\vec{v}$。 分量 $v_j$ 称为向量的坐标（coordinate）或分量（entry）。 在线性代数中，向量通常看作 $n \times 1$ 或 $1 \times n$ 矩阵，分别称为列向量（column vector）和行向量（row vector）。本课程偶尔混用。 向量相等（equal）：$\mathbf{u} = (u_1, \dots, u_m)$ 与 $\mathbf{v} = (v_1, \dots, v_n)$ 相等当且仅当 $m = n$ 且 $u_j = v_j$ 对所有 $j$ 成立。 向量加法（Vector Addition） 定义 1.2：设 $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n$，向量加法定义为 ...