MATH2211 课程笔记

前言 MATH2211 是多元微积分（Multivariable Calculus）。这篇笔记整理自课件第一章 Vectors（向量）——它是后续多元函数、偏导数、多重积分的基础。笔记覆盖课件中全部定义与命题，并精选有代表性的例题。术语统一采用"中文（English）“标注。 1.1 欧几里得空间中的向量（Vectors in the Euclidean Space） 向量的定义 定义 1.1（向量 Vector）：设 $n$ 为正整数。一个向量是 $n$ 元有序数组 $(v_1, v_2, \dots, v_n)$。所有这样的向量构成的集合 $\mathbb{R}^n$ 称为 $n$ 维欧几里得空间（Euclidean space of dimension $n$）。 向量用粗体表示：$\mathbf{v} = (v_1, v_2, \dots, v_n)$；手写可写 $\vec{v}$。 分量 $v_j$ 称为向量的坐标（coordinate）或分量（entry）。 在线性代数中，向量通常看作 $n \times 1$ 或 $1 \times n$ 矩阵，分别称为列向量（column vector）和行向量（row vector）。本课程偶尔混用。 向量相等（equal）：$\mathbf{u} = (u_1, \dots, u_m)$ 与 $\mathbf{v} = (v_1, \dots, v_n)$ 相等当且仅当 $m = n$ 且 $u_j = v_j$ 对所有 $j$ 成立。 向量加法（Vector Addition） 定义 1.2：设 $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n$，向量加法定义为 ...