前言

MATH2211 是多元微积分（Multivariable Calculus）。这篇笔记整理自课件第一章 Vectors（向量）——它是后续多元函数、偏导数、多重积分的基础。笔记覆盖课件中全部定义与命题，并精选有代表性的例题。术语统一采用"中文（English）“标注。

1.1 欧几里得空间中的向量（Vectors in the Euclidean Space）

向量的定义

定义 1.1（向量 Vector）：设 $n$ 为正整数。一个向量是 $n$ 元有序数组 $(v_1, v_2, \dots, v_n)$。所有这样的向量构成的集合 $\mathbb{R}^n$ 称为 $n$ 维欧几里得空间（Euclidean space of dimension $n$）。

  • 向量用粗体表示：$\mathbf{v} = (v_1, v_2, \dots, v_n)$；手写可写 $\vec{v}$。
  • 分量 $v_j$ 称为向量的坐标（coordinate）或分量（entry）。
  • 在线性代数中，向量通常看作 $n \times 1$ 或 $1 \times n$ 矩阵，分别称为列向量（column vector）和行向量（row vector）。本课程偶尔混用。
  • 向量相等（equal）：$\mathbf{u} = (u_1, \dots, u_m)$ 与 $\mathbf{v} = (v_1, \dots, v_n)$ 相等当且仅当 $m = n$ 且 $u_j = v_j$ 对所有 $j$ 成立。

向量加法（Vector Addition）

定义 1.2：设 $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n$，向量加法定义为

$$ \mathbf{u} + \mathbf{v} = (u_1 + v_1, u_2 + v_2, \dots, u_n + v_n) $$

命题 1.1（加法运算律）：对任意 $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{R}^n$，有

  • (a) 交换律（commutativity）：$\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}$
  • (b) 结合律（associativity）：$(\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w})$
  • (c) 单位元（identity）：$\mathbf{0} + \mathbf{v} = \mathbf{v}$，其中 $\mathbf{0} = (0, 0, \dots, 0)$ 是零向量（zero vector）
  • (d) 逆元（inverse）：$(-\mathbf{v}) + \mathbf{v} = \mathbf{0}$，其中 $-\mathbf{v}$ 是 $\mathbf{v}$ 的加法逆元（additive inverse）（每个分量取负）

由结合律可写 $\mathbf{u} + \mathbf{v} + \mathbf{w}$。减法定义为 $\mathbf{u} - \mathbf{v} = \mathbf{u} + (-\mathbf{v})$，即对应分量相减。

标量乘法（Scalar Multiplication）

定义 1.3：设 $\mathbf{v} = (v_1, v_2, \dots, v_n) \in \mathbb{R}^n$，$c \in \mathbb{R}$，标量乘法定义为

$$ c\mathbf{v} = (cv_1, cv_2, \dots, cv_n) $$

命题 1.2（标量乘法运算律）：对任意 $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n$，$a, b \in \mathbb{R}$，有

  • (a) $1 \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v}$
  • (b) $(ab)\mathbf{v} = a(b\mathbf{v})$
  • (c) $a(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = a\mathbf{u} + a\mathbf{v}$
  • (d) $(a + b)\mathbf{v} = a\mathbf{v} + b\mathbf{v}$

例 1.1：设 $\mathbf{u} = (1, 3, 5)$，$\mathbf{v} = (1, 0, -1) \in \mathbb{R}^3$，则

$$ \mathbf{u} + \mathbf{v} = (2, 3, 4), \qquad \mathbf{u} - \mathbf{v} = (0, 3, 6), \qquad 3\mathbf{u} = (3, 9, 15) $$

位置向量与几何意义

定义 1.4（位置向量 Position Vector）：点 $P$ 的位置向量是从原点 $O$ 指向 $P$ 的箭头，记作 $\overrightarrow{OP}$。$O$ 称为起点（initial point），$P$ 称为终点（terminal point）。任何同长度、同方向的箭头都表示同一个向量，不必以原点为起点。

标准向量（standard vectors）：$\mathbb{R}^2$ 中 $\mathbf{i} = (1, 0)$，$\mathbf{j} = (0, 1)$；$\mathbb{R}^3$ 中 $\mathbf{i} = (1, 0, 0)$，$\mathbf{j} = (0, 1, 0)$，$\mathbf{k} = (0, 0, 1)$。一般地，$\mathbf{e}_j$ 是第 $j$ 个分量为 1、其余为 0 的标准向量。于是任一向量可表示为标准向量的线性组合：

$$ (v_1, v_2, \dots, v_n) = v_1 \mathbf{e}_1 + v_2 \mathbf{e}_2 + \dots + v_n \mathbf{e}_n $$

几何意义：

  • 加法：把 $\mathbf{v}$ 的尾端接在 $\mathbf{u}$ 的顶端，$\mathbf{u} + \mathbf{v}$ 是从 $\mathbf{u}$ 尾端到 $\mathbf{v}$ 顶端的箭头（等价地：以 $\mathbf{u}$、$\mathbf{v}$ 为两条边的平行四边形，其对角线即 $\mathbf{u} + \mathbf{v}$）。
  • 标量乘法：$c > 0$ 时，$c\mathbf{v}$ 与 $\mathbf{v}$ 同向、长度是 $c$ 倍；$c = 0$ 时为零向量；$c < 0$ 时反向、长度是 $|c|$ 倍。

平行（parallel）：两个向量平行当且仅当其中一个为另一个的标量倍数。

1.2 直线的方程（Equations of Lines）

定义 1.5（参数方程 Parametric Equation）：$\mathbb{R}^2$ 中一组点 $(x, y)$ 可由参数方程给出：

$$ \begin{cases} x = f(t), \\ y = g(t) \end{cases} $$

其中 $t$ 为参数，$f, g$ 为函数。$\mathbb{R}^3$ 中可类似定义，也可写成向量形式 $\mathbf{v}(t) = (x, y) = (f(t), g(t))$。

命题 1.3（直线方程）：设 $P$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中一点，$\mathbf{v}$ 是 $P$ 的位置向量，$\mathbf{u}$ 是非零向量。则过点 $P$ 且平行于 $\mathbf{u}$ 的直线的方程为

$$ \mathbf{v} + t\mathbf{u} $$

其中 $t$ 为实参数。

例 1.3：过点 $(1, 2)$ 且垂直于 $3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}$ 的直线方程为 $(1 - 4t)\mathbf{i} + (2 + 3t)\mathbf{j}$。方向向量 $(-4, 3)$ 满足与 $(3, 4)$ 点积为零（垂直条件）。

例 1.4：过点 $(1, -1, 1)$ 与 $(2, 3, 0)$ 的直线方程为 $(1 + t)\mathbf{i} + (-1 + 4t)\mathbf{j} + (1 - t)\mathbf{k}$，其方向向量为两点之差 $(1, 4, -1)$。

例 1.5：直线 $(1, -1, 3) + (0, 2, -1)t$ 与 $(-5, 0, -5) + (2, 3, 1)t$ 相交，交点为 $(1, 9, -2)$。

定义 1.6（异面直线 Skew Lines）：$\mathbb{R}^3$ 中两条不平行且不相交的直线称为异面直线。求两条异面直线 $\ell_1$、$\ell_2$ 的夹角：先找一条与 $\ell_2$ 平行、与 $\ell_1$ 相交的直线 $\ell_3$，则所求夹角为 $\ell_1$ 与 $\ell_3$ 的夹角。

1.3 点积（Dot Product）

点积的定义与性质

定义 1.7（点积 Dot Product）：$\mathbf{u} = (u_1, \dots, u_n)$ 与 $\mathbf{v} = (v_1, \dots, v_n)$ 的点积定义为

$$ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + \dots + u_n v_n $$

例 1.6：

$$ (1, 3) \cdot (-2, 6) = (1)(-2) + (3)(6) = 16, \qquad (2\mathbf{i} - \mathbf{j} + \mathbf{k}) \cdot (-3\mathbf{i} + 4\mathbf{k}) = (2)(-3) + (1)(4) = -2 $$

（注意第二个中 $\mathbf{j}$ 的系数为 $-1$，与另一向量的 $\mathbf{j}$ 系数 $0$ 相乘。）

命题 1.4（点积性质）：对任意 $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{R}^n$，$c \in \mathbb{R}$：

  • (a) $(\mathbf{u} + \mathbf{v}) \cdot \mathbf{w} = \mathbf{u} \cdot \mathbf{w} + \mathbf{v} \cdot \mathbf{w}$
  • (b) $(c\mathbf{u}) \cdot \mathbf{v} = c(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v})$
  • (c) $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v} \cdot \mathbf{u}$（对称性）
  • (d) $\mathbf{v} \cdot \mathbf{v} \geqslant 0$，等号成立当且仅当 $\mathbf{v} = \mathbf{0}$

范数（Norm）与长度

定义 1.8（范数/长度）：$\mathbf{v} = (v_1, \dots, v_n)$ 的**范数（norm）**或长度定义为

$$ \|\mathbf{v}\| = \sqrt{\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \dots + v_n^2} $$

例 1.7：

$$ \|(3, -4)\| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5, \qquad \|\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k}\| = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3 $$

命题 1.5（范数性质）：对任意 $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n$，$c \in \mathbb{R}$：

  • (a) $\|c\mathbf{v}\| = |c| \, \|\mathbf{v}\|$
  • (b) $\|\mathbf{v}\| \geqslant 0$，等号成立当且仅当 $\mathbf{v} = \mathbf{0}$
  • (c) 三角不等式（Triangle Inequality）：$\|\mathbf{u} + \mathbf{v}\| \leqslant \|\mathbf{u}\| + \|\mathbf{v}\|$，等号成立当且仅当 $\mathbf{u}$、$\mathbf{v}$ 其中一个为另一个的非负倍数

单位向量（unit vector）：范数为 1 的向量。对任意非零向量 $\mathbf{v}$，$\mathbf{v} / \|\mathbf{v}\|$ 是与 $\mathbf{v}$ 同方向的单位向量。两点间距离：位置向量为 $\mathbf{u}$、$\mathbf{v}$ 的两点间距离是 $\|\mathbf{v} - \mathbf{u}\|$。

点积与夹角

命题 1.6（夹角公式）：设 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ 是非零向量，$\theta$ 为它们之间的夹角，则

$$ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \|\mathbf{u}\| \, \|\mathbf{v}\| \cos\theta $$

特别地，$\mathbf{u}$ 与 $\mathbf{v}$ **垂直（perpendicular）**当且仅当 $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0$。

例 1.8（有代表性的几何结论）：正四面体 $ABCD$ 的中心为 $O$，则 $\angle AOB \approx 109^\circ$（由 $\cos\angle AOB = -1/3$ 得出）。这是一个"用点积算立体几何夹角"的典型例子。

正交投影（Orthogonal Projection）

命题 1.7（正交投影）：设 $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n$，$\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$。则存在向量 $\mathbf{x}$、$\mathbf{y}$ 使得

$$ \mathbf{u} = \mathbf{x} + \mathbf{y} $$

其中 $\mathbf{x}$ 平行于 $\mathbf{v}$，$\mathbf{y}$ 垂直于 $\mathbf{v}$。向量 $\mathbf{x}$ 称为 $\mathbf{u}$ 在 $\mathbf{v}$ 上的**正交投影（orthogonal projection）**或投影，公式为

$$ \mathbf{x} = \left( \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|^2} \right) \mathbf{v} $$

例 1.9（几何应用）：设 $M$ 是平行四边形 $ABCD$ 的边 $BC$ 的中点，$P$ 是 $A$ 在 $MD$ 上的投影，则 $BA = BP$（用投影性质可证）。

1.4 叉积（Cross Product）

叉积的定义

定义 1.9（叉积 Cross Product）：$\mathbb{R}^3$ 中两个不平行的向量 $\mathbf{u}$、$\mathbf{v}$ 的叉积 $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ 是满足以下性质的向量：

  • $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ 同时垂直于 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$；
  • $\|\mathbf{u} \times \mathbf{v}\| = \|\mathbf{u}\| \, \|\mathbf{v}\| \sin\theta$，其中 $\theta$ 是 $\mathbf{u}$ 与 $\mathbf{v}$ 的夹角；
  • 右手定则（right-hand rule）：右手指从 $\mathbf{u}$ 弯向 $\mathbf{v}$，拇指指向 $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ 的方向。

$\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ 的长度等于 $\mathbf{u}$、$\mathbf{v}$ 张成的平行四边形的面积。当 $\mathbf{u}$、$\mathbf{v}$ 平行时，定义 $\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{0}$。$\mathbb{R}^2$ 中的叉积可把向量视为 $\mathbb{R}^3$ 中 $k$ 分量为 0 的向量来计算。

例 1.10（标准向量之间的叉积）：

$$ \mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}, \quad \mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}, \quad \mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}, $$$$ \mathbf{j} \times \mathbf{i} = -\mathbf{k}, \quad \mathbf{k} \times \mathbf{j} = -\mathbf{i}, \quad \mathbf{i} \times \mathbf{k} = -\mathbf{j} $$

注意顺序反过来叉积变号（反交换律）。

叉积的几何应用

命题 1.8（三角形面积）：设 $O$ 为原点，$A$、$B$ 为两个不同点，$\mathbf{u} = \overrightarrow{OA}$，$\mathbf{v} = \overrightarrow{OB}$，则 $\triangle OAB$ 的面积为

$$ \frac{1}{2} \|\mathbf{u} \times \mathbf{v}\| $$

命题 1.9（平行六面体体积）：设 $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}$ 是同起点的位置向量，则它们张成的 平行六面体（parallelepiped） 的体积为

$$ |(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{w}| $$

量 $(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{w}$ 称为 $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}$ 的标量三重积（scalar triple product）。

叉积的运算律

命题 1.10：对任意 $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{R}^3$，$c \in \mathbb{R}$：

  • (a) $(\mathbf{u} + \mathbf{v}) \times \mathbf{w} = \mathbf{u} \times \mathbf{w} + \mathbf{v} \times \mathbf{w}$
  • (b) $\mathbf{u} \times (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{u} \times \mathbf{v} + \mathbf{u} \times \mathbf{w}$
  • (c) 反交换律（anticommutativity）：$\mathbf{u} \times \mathbf{v} = -\mathbf{v} \times \mathbf{u}$
  • (d) $(c\mathbf{u}) \times \mathbf{v} = \mathbf{u} \times (c\mathbf{v}) = c(\mathbf{u} \times \mathbf{v})$

例 1.11：

$$ (2, 3, 1) \times (-1, 4, -2) = (-10, 3, 11) $$

叉积的计算公式与行列式

命题 1.11（叉积公式）：设 $\mathbf{u} = (u_1, u_2, u_3)$，$\mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3)$，则

$$ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = (u_2 v_3 - u_3 v_2, \; u_3 v_1 - u_1 v_3, \; u_1 v_2 - u_2 v_1) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} $$

利用该公式还可推出标量三重积的行列式形式：

$$ (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{w} = \begin{vmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix} $$

例 1.12（几何结论）：设 $ABCDEF$ 是凸六边形，满足 $AB \parallel DE$、$BC \parallel EF$、$CD \parallel FA$，则 $\triangle ACE$ 与 $\triangle BDF$ 面积相等（可用叉积与线性组合证明）。

1.5 平面的方程（Equations of Planes）

与直线方程类似，$\mathbb{R}^3$ 中平面的参数方程形如 $\mathbf{u} + s\mathbf{v} + t\mathbf{w}$，其中 $\mathbf{v}$、$\mathbf{w}$ 是不平行的向量，$s$、$t$ 为实参数。但这种形式很少使用，更常用的是法式。

定义 1.10（法向量 Normal）：平面在 $\mathbb{R}^3$ 中的法向量是一个非零向量，它垂直于平面内的每一个向量。

命题 1.12（平面方程）：设 $(a, b, c)$ 是点 $P$ 的位置向量，$\mathbf{n} = (A, B, C)$ 是非零向量。则过点 $P$ 且以 $\mathbf{n}$ 为法向量的平面的方程为

$$ A(x - a) + B(y - b) + C(z - c) = 0 $$

一般地，对不全为零的常数 $A, B, C$ 和常数 $D$，

$$ Ax + By + Cz = D $$

表示一个以 $(A, B, C)$ 为法向量的平面。这称为平面方程的法式（normal form）。

例 1.13：过点 $(1, 0, 1)$、$(1, 2, 2)$、$(-1, -2, 3)$ 的平面方程为 $3x - y + 2z = 5$。

例 1.14：平面 $2x + 3y - 6z = 1$ 与 $x - 2y - 2z = 2$ 的夹角为

$$ \cos^{-1} \frac{8}{21} $$

（两平面夹角即它们法向量之间的夹角：$(2,3,-6) \cdot (1,-2,-2) = 8$，$\|(2,3,-6)\| = 7$，$\|(1,-2,-2)\| = 3$。）

线与面的关系：直线与平面平行当且仅当它们没有交点或直线在平面内；直线垂直于平面当且仅当它平行于平面的法向量。

1.6 其他坐标系（Other Coordinate Systems）

极坐标（Polar Coordinates）

定义 1.11（极坐标）：点 $P \in \mathbb{R}^2$ 的极坐标 $(r, \theta)$ 中，$r$ 是 $P$ 到原点 $O$ 的距离，$\theta$ 是从正 $x$ 轴逆时针量到射线 $OP$ 的角（弧度）。通常限制 $r \geqslant 0$、$0 \leqslant \theta < 2\pi$，此时除原点外极坐标唯一确定（原点处 $r = 0$，$\theta$ 任意）。

命题 1.13（极坐标与笛卡尔坐标转换）：设 $P$ 的笛卡尔坐标为 $(x, y)$、极坐标为 $(r, \theta)$，则

$$ \begin{cases} x = r\cos\theta, \\ y = r\sin\theta \end{cases} \qquad\text{且}\qquad \begin{cases} r = \sqrt{x^2 + y^2}, \\ \tan\theta = \dfrac{y}{x} \end{cases} $$

由笛卡尔坐标求 $\theta$ 时，$\tan\theta = y/x$ 只能确定 $\theta$ 到相差 $\pi$；再根据 $x$、$y$ 的符号确定 $[0, 2\pi)$ 中的精确值。$r < 0$ 时公式 $x = r\cos\theta$、$y = r\sin\theta$ 仍然成立。

例 1.15：方程 $r = 2\cos\theta$ 表示一个圆（化到笛卡尔坐标：$x^2 + y^2 = 2x$，即 $(x-1)^2 + y^2 = 1$，圆心 $(1, 0)$、半径 1）。

柱坐标（Cylindrical Coordinates）

定义 1.12（柱坐标）：点 $P \in \mathbb{R}^3$ 的柱坐标 $(r, \theta, z)$ 中，$(r, \theta)$ 是 $P$ 在 $xy$ 平面投影的极坐标，$z$ 是 $P$ 的笛卡尔 $z$ 坐标。

命题 1.14（柱坐标转换）：

$$ \begin{cases} x = r\cos\theta, \\ y = r\sin\theta, \\ z = z \end{cases} \qquad\text{且}\qquad \begin{cases} r = \sqrt{x^2 + y^2}, \\ \tan\theta = \dfrac{y}{x}, \\ z = z \end{cases} $$

例 1.16：点 $P = (\sqrt{2}, -\sqrt{2}, 1)$ 的柱坐标为 $\left(2, \dfrac{7\pi}{4}, 1\right)$。

例 1.17：柱坐标方程 $r = 3$ 表示一个圆柱面（cylinder）。

例 1.18：柱坐标方程 $z = 2r$ 表示一个圆锥面（cone）。

球坐标（Spherical Coordinates）

定义 1.13（球坐标）：点 $P \in \mathbb{R}^3$ 的球坐标 $(\rho, \phi, \theta)$ 中，$\rho$ 是 $P$ 到原点 $O$ 的距离，$\phi$ 是从正 $z$ 轴量到射线 $OP$ 的角，$\theta$ 是 $P$ 的柱坐标中的 $\theta$。通常限制 $\rho \geqslant 0$、$0 \leqslant \phi \leqslant \pi$、$0 \leqslant \theta < 2\pi$，此时除 $z$ 轴上的点外球坐标唯一确定。

命题 1.15（球坐标转换）：

$$ \begin{cases} x = \rho\sin\phi\cos\theta, \\ y = \rho\sin\phi\sin\theta, \\ z = \rho\cos\phi \end{cases} \qquad\text{且}\qquad \begin{cases} \rho = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}, \\ \tan\phi = \dfrac{\sqrt{x^2 + y^2}}{z}, \\ \tan\theta = \dfrac{y}{x} \end{cases} $$

例 1.19：点 $P = (1, 1, \sqrt{2})$ 的球坐标为 $\left(2, \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{4}\right)$。

例 1.20：球坐标方程 $\rho = 2$ 表示一个球面（sphere）。

例 1.21：球坐标方程 $\rho = 4\cos\phi$ 表示一个球面（化为 $\rho^2 = 4\rho\cos\phi$，即 $x^2 + y^2 + z^2 = 4z$，亦即 $x^2 + y^2 + (z-2)^2 = 4$，球心 $(0, 0, 2)$、半径 2）。

小结

第一章"向量"的脉络：

  1. 向量的代数：加法与标量乘法（分量运算）、运算律；
  2. 向量的几何：位置向量、平行四边形法则、标准向量；
  3. 直线的方程：过点、沿方向向量的参数形式 $v + tu$；异面直线；
  4. 点积：度量"长度与夹角”——$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|\cos\theta$，垂直判定，正交投影；
  5. 叉积：度量"面积与体积"——$\|\mathbf{u} \times \mathbf{v}\|$ 为平行四边形面积，$|(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{w}|$ 为平行六面体体积，用行列式记忆；
  6. 平面的方程：法向量 + 法式 $Ax + By + Cz = D$；
  7. 三种坐标系：极坐标、柱坐标、球坐标及其与笛卡尔坐标的转换。

关键术语对照：向量 vector · 欧几里得空间 Euclidean space · 坐标 coordinate · 列向量/行向量 column/row vector · 零向量 zero vector · 加法逆元 additive inverse · 位置向量 position vector · 起点/终点 initial/terminal point · 标准向量 standard vectors · 平行 parallel · 参数方程 parametric equation · 异面直线 skew lines · 点积 dot product · 范数 norm · 单位向量 unit vector · 三角不等式 triangle inequality · 正交投影 orthogonal projection · 叉积 cross product · 标量三重积 scalar triple product · 法向量 normal · 法式 normal form · 极坐标 polar coordinates · 柱坐标 cylindrical coordinates · 球坐标 spherical coordinates。